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Jeancam

Résolution optimisation

1 message dans ce sujet

Bonjour à tous.

Voilà le problème : je dois maximiser le profit d'un producteur qui a 2 activités possibles dans son "portefeuille" d'activités (il peut allouer sa production dans une certaine proportion à un type de production q1, et le reste dans une autre q2). La première production est liée à un input x1 et l'autre à un input x2, ayant chacun un coût unitaire différent w1 et w2, et la fonction de production associée à q2 est a2.x2 (même raisonnement pour q1).

L'agent doit décider s'il fait que q1, qui est sa production conventionnelle, ou s'il adopte un peu de q2 dans son portefeuille. Son profit total est égal à la somme des profits issues des deux prod. En gros je veux déterminer à partir de quel niveau de w1 et w2, et de a1 et a2, mon producteur se dit que c'est intéressant d'adopter q2.

Je maximise et trouve les FOC. J'arrive à un résultat qui me semble classique d'après mon livre de microéconomie, avec le TMST égal au ratio des prix des facteurs. Les SOC je les considère comme vérifiées car mes fonctions sont très simplifiées et ne sont pas deux fois différentiables dans l'input...j'espère que cette simplification ne va pas nuire à la suite de mon travail mais bon.

Seulement voilà, je suis bien content d'avoir cette relation (à partir de laquelle je peux regarder les isoquantes et faire un travail d'analyse habituel d'arbitrage entre les deux productions/usages de facteurs), mais j'aimerais trouver la solution du problème. A savoir le point précis d'utilisation de x2 (par exemple) qui est optimal pour mon producteur.

J'aimerais même, pour être plus précis, trouver une condition simple entre w1 et w2, qui montre que selon leur égalité/inégalité il sera profitable d'adopter/non adopter (en tenant en compte aussi de a1 et a2).

J'ai essayé de résoudre en bougeant un peu la relation pré-citée (TMST=cost ratio) mais je trouve un truc qui ne m'a pas l'air logique, une relation qui va à l'inverse de mon intuition : le niveau de x2 utilisé doit augmenter avec son coût unitaire pour que ce soit optimal... J'en ai déduit que c'est en fait une relation d'équilibre et que donc dans cette optique le résultat est logique.

Par exemple je trouve que l'adoption de q2 augmente si w2>w1...ce qui permet bien de maintenir l'équilibre, génial, mais dans la vraie vie, on ne va pas spontanément plus adopter un truc qui est plus cher que l'autre...

J'aimerais trouvé un résultat non lié à l'équilibre, juste un truc intuitif mathématiquement où en gros plus x2 me rapporte comparativement à x1 plus je l'utilise, ou réciproquement plus il coûte cher par rapport à x1 moins je l'utilise. En gros je cherche la coordonnées réelle du point x2 optimal et pas une expression de x2 à l'équilibre. Je ne sais pas si je suis clair...

Normalement mon intuition me dicte que déjà, si w2<w1, mon agent ne va même pas adopter un peu la production 2. Mais j'aimerais aller plus loin dans la résolution et voir s'il y a des solutions liées au rapport a1/a2 également.

Pour résumer ma question : une fois qu'on a optimisé, comment déterminer les solutions pour lesquelles le producteur adopte ou pas?

Aidez-moi svp! Merci d'avance.

 

Jeanc

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